11.4 Fuerza magnética sobre un conductor portador de corriente - Física universitaria volumen 2 | OpenStax (2023)

$$\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}.$$

11.13

Equilibrio de las fuerzas gravitacionales y magnéticas en un cable portador de corriente

Un cable de 50 cm de longitud y 10 g de masa está suspendido en un plano horizontal por un par de cables flexibles (Figura 11.13). A continuación, el cable se somete a un campo magnético constante de magnitud 0,50 T, que se dirige como se indica. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la corriente en el cable necesaria para eliminar la tensión en los cables de soporte?

Figura 11.13 (a) Un cable suspendido en un campo magnético. (b) El diagrama de cuerpo-libre del cable.

Estrategia

Según el diagrama de cuerpo-libre de la figura, las tensiones en los cables de soporte llegan a cero cuando las fuerzas gravitacionales y magnéticas se equilibran. Con el uso de la RHR-1, hallamos que la fuerza magnética apunta hacia arriba. Entonces podemos determinar la corriente I al guiar las dos fuerzas.

Solución

Iguale las dos fuerzas del peso y la fuerza magnética sobre el cable:

$$mg=IlB.$$

Así,

$$I=\frac{mg}{lB}=\frac{(\mathrm{0,010}\text{kg})(\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2)}{(\mathrm{0,50}\text{m})(\mathrm{0,50}\text{T})}=\mathrm{0,39}\text{A.}$$

Importancia

Este gran campo magnético crea una fuerza significativa sobre una longitud de cable para contrarrestar su peso.

Cálculo de la fuerza magnética en un cable portador de corriente

Un cable largo y rígido situado a lo largo del eje y conduce una corriente de 5,0 A que fluye en la dirección y positiva. (a) Si un campo magnético constante de magnitud 0,30 T se dirige a lo largo del eje x positivo, ¿cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud en el cable? (b) Si un campo magnético constante de 0,30 T se dirige 30 grados desde el eje x positivo hacia el eje y positivo, ¿cuál es la fuerza magnética por unidad de longitud en el cable?

Estrategia

La fuerza magnética sobre un cable portador de corriente en un campo magnético viene dada por $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}.$ Para la parte a, como la corriente y el campo magnético son perpendiculares en este problema, podemos simplificar la fórmula para que nos dé la magnitud y hallar la dirección a través del RHR-1. El ángulo θ es de 90 grados, lo que significa $\text{sen}\theta =1.$ Además, la longitud se puede dividir hacia el lado izquierdo para calcular la fuerza por unidad de longitud. Para la parte b, la corriente por la longitud se escribe en notación vectorial unitaria, así como el campo magnético. Después de tomar el producto cruz, la direccionalidad es evidente por el vector unitario resultante.

Solución

1. Comenzamos con la fórmula general de la fuerza magnética sobre un cable. Buscamos la fuerza por unidad de longitud, así que dividimos entre la longitud para llevarla al lado izquierdo. También hemos establecido $\text{sen}\theta =1.$ La solución, por tanto, es

   $$\begin{array}{ccc}\hfill F& =\hfill & IlB\text{sen}\theta \hfill \\ \hfill \frac{F}{l}& =\hfill & (\mathrm{5,0}\text{A})(\text{0,30 T})\hfill \\ \hfill \frac{F}{l}& =\hfill & \mathrm{1,5}\text{N/m.}\hfill \end{array}$$

   Direccionalidad: Apunte con los dedos en la dirección y positiva y curve los dedos en la dirección x positiva. El pulgar apuntará en la dirección $\text{−}\overrightarrow{k}$. Por lo tanto, con la direccionalidad, la solución es

   $$\frac{\overrightarrow{F}}{l}=\mathrm{-1,5}\overrightarrow{k}\text{N/m.}$$

2. La corriente por la longitud y el campo magnético se escriben en notación vectorial unitaria. Entonces, tomamos el producto cruz para calcular la fuerza:

   $$\begin{array}{ccc}\hfill \overrightarrow{F}& =\hfill & I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}=\left(\mathrm{5,0}A\right)l\widehat{j}\times \left(\mathrm{0,30}T\text{cos}\left(30\text{°}\right)\widehat{i}+\mathrm{0,30}T\text{sen}\left(30\text{°}\right)\widehat{j}\right)\hfill \\ \hfill \overrightarrow{F}\text{/}l& =\hfill & \mathrm{-1,30}\widehat{k}\text{N/m.}\hfill \end{array}$$

Importancia

Este gran campo magnético crea una fuerza significativa en una pequeña longitud de cable. A medida que el ángulo del campo magnético se alinea más estrechamente con la corriente en el cable, hay menos fuerza sobre él, como se ve al comparar las partes a y b.

Fuerza en un cable circular

Un bucle circular de radio R que porta una corriente I se sitúa en el plano xy. Un campo magnético uniforme y constante atraviesa el bucle paralelamente al eje y (Figura 11.14). Halle la fuerza magnética sobre la mitad superior del bucle, la mitad inferior del bucle y la fuerza total sobre este.

Figura 11.14 Un bucle de cable que porta una corriente en un campo magnético.

Estrategia

La fuerza magnética sobre el bucle superior debe escribirse en términos de la fuerza diferencial que actúa sobre cada segmento de él. Si integramos sobre cada pieza diferencial, resolvemos la fuerza global en esa sección del bucle. La fuerza en el bucle inferior se calcula de manera similar, y la fuerza total es la suma de estas dos fuerzas.

Solución

Una fuerza diferencial sobre un trozo de cable arbitrario situado en el anillo superior es:

$$dF=IB\text{sen}\theta dl.$$

donde $\theta$ es el ángulo entre la dirección del campo magnético (y +) y el segmento de cable. Un segmento diferencial se encuentra en el mismo radio, por lo que al utilizar una fórmula de longitud de arco, tenemos:

$$\begin{array}{ccc}\hfill dl& =\hfill & Rd\theta \hfill \\ \hfill dF& =\hfill & IBR\text{sen}\theta d\theta .\hfill \end{array}$$

Para hallar la fuerza sobre un segmento, integramos sobre la mitad superior del círculo, de 0 a $\pi .$ Esto da como resultado:

$$F=IBR{{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\text{sen}\theta d\theta =IBR(\text{−}\text{cos}\pi +\text{cos}0)}}^{}=2IBR.$$

La mitad inferior del bucle se integra de $\pi$ a cero, lo que nos da:

$$F=IBR{{\displaystyle \underset{\pi }{\overset{0}{\int }}\text{sen}\theta d\theta =IBR(\text{−}\text{cos}0+\text{cos}\pi )}}^{}=\mathrm{-2}IBR.$$

La fuerza neta es la suma de estas fuerzas, que es cero.

Importancia

La fuerza total sobre cualquier bucle cerrado en un campo magnético uniforme es cero. Aunque cada pieza del bucle tiene una fuerza que actúa sobre él, la fuerza neta sobre el sistema es cero. (Observe que hay un torque neto en el bucle, que consideramos en la siguiente sección).